葛善成 李明树 王晓峰
摘 要：项目式学习是通过合作探究解决真实情境中的复杂问题的一种学习方式. 文章从实践的角度明确初中数学项目式学习的内涵、价值、设计及实施策略，以“做数学”为基本实践样态，将“定宽曲线”的项目任务分解为问题驱动、持续探究、成果展示、评价引领四个部分，强调自我规范、展示交流、智慧分享、完善作品，注重学生的活动体验和思维发展，发展学生的数学核心素养.
关键词：项目式学习；
定寬曲线；
数学核心素养
基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题——初中数学应用意识与创新意识素养行为表现及其教学案例研究（22ZS101411ZB）．
作者简介：葛善成（1990— ），男，一级教师，主要从事中学数学课堂教学研究；
李明树（1977— ），男，高级教师，主要从事中学数学课堂教学研究；
王晓峰（1970— ），男，正高级教师，江苏省特级教师，主要从事中学数学教学、命题和评价研究．
一、初中数学项目式学习的内涵与价值
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“项目学习教学以用数学方法解决现实问题为主，其目标是引导学生发现解决现实问题的关键要素，用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，培养模型观念，经历发现、提出、分析、解决问题的过程，培养应用意识和创新意识.”项目式学习是一套系统的教学方法，它是对复杂、真实问题的探究过程，也是精心设计项目作品、规划和实施项目任务的过程，学生在此过程中能够掌握所需的知识和技能. 有国内研究者将核心素养时代项目式学习的内涵定义为一种建构性的教与学的方式，即教师指导学生基于真实情境提出问题，利用相关知识和信息资料开展研究、设计和实践操作，最终解决问题并展示和分享项目成果.
在实践中，我们结合数学学科特点，将初中数学项目式学习总结为基于初中数学教育教学目标，围绕数学教育活动展开，学生综合运用数学核心知识、技能、方法、思想，融合其他学科知识解决真实情境问题的实践性学习活动，最终目标是深化学生的知识体系，发展学生的高阶思维. 项目式学习将课堂教学和实践活动有机结合，带领学生深入体验现实世界，增强学生对数学知识的理解和应用，体现以问题为导向、以探究为核心、以共同发现为形式、以发展思考能力为目标的教育理念，有助于学生形成思考方法、判断能力、批判性思维、创新意识和团队协作能力.
二、初中数学项目式学习的设计与实施策略
夏雪梅教授提出了项目式学习的设计框架，即“寻找核心知识—形成本质问题—转化为驱动性问题—澄清项目的高阶认知策略—确认主要的学习实践—明确学习成果及公开方式”，并设计覆盖全程的评价标准. 结合数学学科的特点，项目式学习的设计应该指向核心素养，以解决现实问题为重点，通过数学和其他学科知识的有效整合，构建包含本质问题、驱动问题、核心知识、高阶认知、学习实践、项目成果、反思评价等内容的学习体系. 我们在实践中探索出以“做数学”为基本实践样态的项目式学习实施策略，如图1所示.
“做数学”以知行合一为认识论基础、以建构知识为学习论基础、以情境认知为教学论基础，强调合作学习的方式，用情境支持知识理解. 从实施途径来看，“做数学”的实践模型包括操作体验、数学实验、综合实践三类；
从目标指向来看，“做数学”的实践模型包括验证理解、探索发现、应用实践三类. 其具体实施路径为：问题驱动—持续探究—成果展示—评价引领.
三、项目设计与实施
项目活动1：查阅资料，了解车轮的发展史.
学生活动：车轮作为人类的先进发明之一，是车辆前进的基本组成单元. 学生在课前查阅资料，了解车轮的起源和发展史，以及车轮在人类文明史上的重要意义，并在课堂上展示成果.
【反思与评价】学生主动了解车轮的演变历程，从历史发展的角度阐述“车轮是圆形的”这一事实，深刻认识车轮给人类社会发展带来的进步. 通过为学生提供一个来源于生活的问题，促使学生思考司空见惯的现象背后的科学原理，产生主动学习的意愿.
项目活动2：探究将车轮做成圆形的优势.
（1）操作体验：感悟非圆形车轮滚动.
学生活动：学生通过实验操作发现三角形或正方形车轮在滚动时不够平稳，说明将车轮做成圆形是由于其具有“定宽”的特征（必要性）.
教师进而提出问题：除了圆形以外，还有什么图形具备“定宽”的特征？其是否可以替代圆形车轮？
学生尝试探究将三角形、正方形、圆形做成车轮的图形运动特征，成果展示如下.
第1组：我们组分别借助等边三角形、正方形塑料片画出了其顶点和中心在滚动过程中形成的轨迹；
借助圆形塑料片画出了圆上一点和圆心运动形成的轨迹.
第2组：我们组尝试用GeoGebra或网络画板等软件进行不同图形滚动过程的动态演示，但在制作时发现图形运动的背后蕴含了大量算理，没有成功. 然后我们发现了一款趣味仿真实验平台——Algodoo软件，它可以通过拖拽、倾斜等方式实现高精度的物理仿真实验. 我们使用简单的绘图工具创建和编辑场景，完成了本次任务，如图2所示.
第3组：我们组通过尺规作图分别作出了圆形车轮滚动过程中圆上一点和圆心运动形成的轨迹，以及等边三角形和正方形在滚动过程中顶点和中心运动形成的轨迹.
（2）数学实验：为了保证车子平稳前进，车轮是不是只能做成圆形？
学生活动：学生以小组为单位展开分工合作，制作莱洛三角形小车并进行演示实验.
学生成果展示：图3为莱洛三角形小车滚动前进演示实验.
实物演示后，再借助Algodoo软件直观演示莱洛三角形滚动的画面（如图4），从中抽象出莱洛三角形.
（3）探索发现：观察图5，思考莱洛三角形是如何构成的.
操作：你能借助没有刻度的直尺和圆规作出莱洛三角形吗？
思考：莱洛三角形是如何维持车座平稳的呢？
【反思与评价】首先，通过非圆形车轮滚动使学生获得大量的感性认识，提高学习兴趣，激发求知欲；
其次，利用莱洛三角形小车和Algodoo软件，使学生通过动手操作、观察思考、归纳抽象等过程建构莱洛三角形的概念. 在项目学习过程中，教师要注重引导学生动手操作与动脑思考紧密结合，培养学生批判质疑的意識和勇于探究的精神.
项目活动3：探究定宽曲线的性质.
学生活动：学生以小组为单位，先独立思考，再与小组内成员共同完成如下项目作业.
探索发现：滚动莱洛三角形，在滚动过程中，莱洛三角形每时每刻都有一个最高点，其中心也在不停地移动位置，试画出最高点和中心点的运动轨迹，并探究定宽曲线的性质.
学生活动：学生借助莱洛三角形塑料片动手操作，发现莱洛三角形在滚动过程中虽然中心点运动形成的轨迹上下波动，但是其最高点运动形成的轨迹却是平稳的，如图6所示. 这说明莱洛三角形在任意方向上的宽度保持不变，从而引出定宽曲线的概念.
思考：除了莱洛三角形外，还有什么图形符合定宽曲线的特征？
探索：设定宽曲线的宽度为d，试计算表1中各图形的周长与面积.
学生成果展示如下.
（1）巴比尔定理：如果定宽曲线的宽度为d，则其周长为πd，与具体形状无关.
（2）布拉什科-勒贝格定理：在宽度相同的定宽曲线中，莱洛三角形面积最小.
（3）等周定理：在宽度相同的定宽曲线中，圆的面积最大.
【反思与评价】引导学生类比莱洛三角形的构造方法，以正奇数多边形的顶点为圆心、对角线为半径构造莱洛多边形. 对于正偶数多边形，学生尝试用正方形构造，构造方法较多，教师引导学生计算其在不同方向上的宽度，归纳出结论，即正偶数多边形不能构造出莱洛多边形. 学生经历操作实验，理解了莱洛多边形的构成元素，便可以进一步探索宽度相同的定宽曲线的周长和面积特征，以此发展学生的数学运算和逻辑推理能力.
项目活动4：莱洛三角形真的能做成车轮吗？
莱洛三角形具备成为车轮的潜质，但也有不可避免的缺陷，在此基础上引导学生讨论改进方案，培养学生解决问题的能力.
综合实践：与圆形车轮相比，莱洛三角形车轮有什么优点和缺点？
学生活动：学生通过小组合作的形式讨论出莱洛三角形车轮和圆形车轮各自的优缺点，发现相对于圆形车轮，莱洛三角形车轮的优点是节省材料，缺点是对制作工艺和技术要求较高，有明显的用力集中区域，易磨损，重心不稳.
思考：针对莱洛三角形车轮的以上缺点，你能否设计改进方案？
学生成果展示如下.
（1）重心不稳问题的解决方案1：类比火车铁轨，设计莱洛三角形专用车道，如图7所示.
（2）重心不稳问题的解决方案2：根据机械原理，加装传动装置，如图8所示.
（3）易磨损问题的解决方案：把圆绕着莱洛三角形滚动一周，得到“圆滑”的定宽曲线，如图9所示.
【反思与评价】虽然莱洛三角形车轮因其自身固有的缺陷没有在生活中得到广泛应用，但也不失为一个选择. 在定宽的基础上探究改进方案，有利于培养学生的应用意识和创新能力. 从某种层面上来说，科学研究就是研究“无用之学”，正是由于研究“无用之学”，才不断拓展了人类知识和认知的边界.
项目活动5：定宽曲线的应用价值.
美国NASA的技术人员为检验火箭截面是否为圆形提出了一套检验标准：每隔60°测量一次火箭在该方向截面内两点间距离的最大值，如果三次测得的结果相同，火箭的截面即为圆形.
问题：如图10，这套检验方法真的科学有效吗？
学生成果展示：学生提出该检测方法并不科学，并给出如图11所示的反例.
【反思与评价】定宽曲线因具有定宽的特性，在生活中有着独特的应用价值，如扫地机器人、幼儿专用铅笔等. 莱洛三角形最为人所熟知的应用是汽车发动机中的转子引擎. 汽缸被莱洛三角形分成三个独立的空间，进气、压缩、做功和排气在三个空间内依次完成，转子每转动一周，发动机点火做功三次. 这和圆轴发动机每转两周才做功一次相比，效率提高了很多.
项目延伸：迈斯纳四面体.
某公司专门为自动驾驶汽车量身打造了一款3D打印的球形轮胎，它可以提高自动驾驶汽车的灵活性和安全性.
综合实践：除了球形以外，还有什么几何体可以作为车轮呢？
学生成果展示：图12为学生查找的迈斯纳四面体图片.
思考：迈斯纳四面体是如何构成的？迈斯纳四面体有哪些性质？迈斯纳四面体有哪些应用价值？
【反思与评价】项目式学习要引导学生在真实情境中分析问题、发散思维，在解决问题的过程中进行对比思考和推理思考，体验知识的外延世界，激发学生的内在学习兴趣. 在平面中存在定宽曲线，那么在空间中存在具有类似定宽性质的几何体吗？引导学生将前期积累的项目活动经验迁移到空间中，探索迈斯纳四面体的性质和应用价值，使学生处在“发现—探索—成功—再发现—再探索—再成功”的积极探究状态中.
四、项目反思
1. 项目式学习的问题设计与项目评价匹配
项目式学习应该基于真实情境下的问题解决进行推进. 所谓真实情境并非指现实生活中真实发生的事件，而是指能够让学生通过思考运用所学知识和能力真实解决问题的情境. 现实问题的给定条件和解决路径通常不完善，需要教师调动学生思维中的元认知，设置基于生活经验的、真实的、有趣的，包含核心知识与概念且具有挑战性的驱动问题，创造条件让学生不断迸发思维火花，生成精彩观点. 例如，本案例中围绕“车轮为什么是圆形”设计驱动性问题，并把它拆解成有逻辑的序列子问题，包括将车轮做成圆形的优势，车轮是不是只能做成圆形等. 学生在探究过程中会产生对定宽曲线的深层次理解并实现知识迁移，体现驱动问题高阶化的特征.
项目评价伴随问题而设计，并涵盖整个项目式学习过程，教师要确保项目评价与项目目标、项目活动、项目成果相一致. 评价的方式可以多元化，如量化评价、判断性评价、选择性评价等. 例如，以项目式学习评价量表为标准，在项目推进的过程中让学生审视自己的学习行为，进行量化评价；
根据学生的表现，在分工协作、沟通交流、自我调整等方面进行判断性评价；
选出立足于对核心知识的理解，包含个人和集体智慧的项目成果，以展示与汇报、质疑与答辩等形式进行选择性评价.
2. 项目式学习的活动体验与思维发展并重
以“做數学”为基本实践样态的项目式学习从具身体验性出发，通过学生的感官突出并延长活动体验. 在项目实践过程中，学生可以在教师的有效支持下，以“做中学、学中乐”的方式开展项目探究，保持好奇心和求知欲. 学生在利用已有的知识储备完成力所能及的作品、解决适切的问题、呈现团队成果时，便会产生成就感. 在项目推进过程中，学生与同伴开展有效且深入的讨论与交流，便会找到价值感. 良好的活动体验有利于驱动学生持续性学习，但教师在项目活动中不仅要关注学生是否获得了好的体验，更要关注学生的思维能力是否得到了应有的发展. 学生是否对驱动问题产生了真实的探究兴趣，在持续探究的过程中是否调动了多种高阶认知策略，在形成项目成果时是否实现了对核心知识的深度理解等，这些隐性而深层的思维活动也是项目式学习的价值所在.
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［2］美国巴克教育研究所. 项目学习教师指南：21世纪的中学教学法［M］. 2版. 任伟，译. 北京：教育科学出版社，2008.
［3］杨明全. 核心素养时代的项目式学习：内涵重塑与价值重建［J］. 课程·教材·教法，2021，41（2）：57-63.
［4］夏雪梅. PBL项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践［M］. 上海：华东师范大学出版社，2018.
［5］喻平.“做数学”的理论基础分析［J］. 教育研究与评论，2021（3）：22-26.
［6］董林伟，石树伟. 做数学：学科育人方式的实践创新［J］. 数学通报，2021，60（4）：22-24，62.
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