安徽省安庆市怀宁县教育教学研究室 丁小卫 (邮编：246121)
在中学数学当中，提到两个变量之间的关系，首先想到的就是函数关系，事实上，函数关系是从现实世界中高度抽象出来的一种变量间关系，其实现实世界中大量存在的是相关关系：两个变量之间有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，即密切程度又达不到函数关系表达的那样唯一确定.回归分析就是研究两个随机变量的相关关系的重要方法.
近几年，在全国高考数学卷中，作为统计学中的一种重要的分析方法，回归分析在解答题部分屡次出现.这类试题一般都是以当下生活实际与社会经济中的热点问题为背景命制，重点考查考生对基础知识、基本概念的理解与应用，有利于激发考生的解题激情，所以命题的价值非常大.
1.1 课标要求
课程标准是教材编写与考试命题的重要依据，自从2019年最后一版《普通高等学校招生全国统一考试大纲》发布后，全国的高考就进入了“无考纲”时代，高考试题就全部以《中国高考评价体系》为指导、以各学科的课程标准为依据来命制了.以下列举了新旧课程标准中对“回归分析”这一部分内容的具体要求.
在《普通高中数学课程标准(实验版)》中，提出变量的相关性的两点要求：
(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
(2)经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.
在《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科)》(2019年版)中，提出对“回归分析”的具体要求：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中，对这一部分内容提出的要求更具体详细：
(1)成对数据的统计相关性
①结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
②结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
(2)一元线性回归模型
①结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小估计方法，会使用相关的统计软件.
②针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
1.2 2016—2022年考题统计
2016年全国Ⅲ卷理科第18题，以生活垃圾无害化处理问题为背景，编制了一个处理变量y(年生活垃圾无害化处理量)与t(年份代码)之间相互关系、建立回归模型的问题.第一问要求考生根据折线图中给出的t的数据和附注中的数据以及参考公式，计算出y与t的相关系数.第二问要求考生根据折线图中给出的t的数据和附注中的数据以及参考公式，计算得出回归方程中系数的最小二乘估计，得到线性回归方程，并利用该方程预测2016年我国生活垃圾无害化的处理量.
2017年全国Ⅰ卷文科第19题，以零件生产过程的监控问题为背景，编制了一个判断变量x(抽取的零件尺寸)与i(抽取的次序)之间相互关系、估计总体生产情况的问题.第一问要求考生根据表格中给出的x的数据和附注中的数据以及参考公式，计算出x与t的相关系数，并对生产过程中零件尺寸的变化进行判断.第二问要求考生根据表格中给出的x的数据和附注中的数据，找出并剔除异常值，再求出剩余样本数据的均值与标准差，从而估计生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.
2018年全国Ⅱ卷文理科第18题，以环境基础设施投资问题为背景，编制了一个处理变量y(投资额)与t(年份代码)之间相互关系、回归模型应用的问题.第一问要求考生根据给出的两个线性回归模型，求出2018年的环境基础设施投资额的预测值.第二问要求考生根据题中给出的折线图，结合第一问求出的预测值，分析两个模型中哪一种更可靠.
2020年全国Ⅱ卷文理科第18题，以沙漠生态治理问题为背景，编制了一个处理变量y(某种野生动物数量)与x(植被覆盖面积)之间的相互关系、抽样方式选择的问题.第一问要求考生根据已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以地块数200估计出该地区野生动物数量.第二问要求考生根据已知数据以及参考公式，计算出y与x的相关系数.第三问要求考生根据题目已知信息，结合统计的相关知识，选择合理的抽样方法.
2022年全国乙卷文理科第19题，以荒山环境治理问题为背景，编制了一个处理变量y(某种树木的材积量)与x(树木的根部横截面积)之间相互关系的问题.第一问要求考生根据表格中的已知数据求出树木的根部横截面积与材积量的平均值.第二问要求考生根据表格中给出的数据和附注中的数据以及参考公式，计算出y与x的相关系数。第三问要求考生根据已知的树木根部横截面积与材积量的关系，以及表格中的相关数据，计算出林区这种树木的总材积量的估计值.
2.1 注重基础考查，关注数学应用
此类试题设计的实际背景源于考生熟悉的社会生活，没有非常抽象的数学理论，具有时代气息，考生有很好的感性认识.试题重点考查了学生对材料信息的提炼与处理能力，以及对基础知识、基本概念与公式的理解与应用，难度不大，在试卷的解答题部分位置靠前，有利于稳定考生在考场上的情绪和心态.此类试题是对学生实际应用能力的综合考查，强化了考生分析问题、解决问题意识的培养，有利于考生深入理解数学的价值，也有利于考生进一步理解数学知识在社会生活中的应用.
2.2 注重能力立意，关注素养发展
由以上统计不难发现，这些题目大多涉及利用已知数据及参考公式进行相关计算，求回归方程或两个变量的相关系数，重点考查了学生的阅读理解能力与基本运算能力.解题时要注意两点：一方面考生要能将文字语言正确地翻译成数学语言(阅读理解能力)，并通过数据分析建立起相应的数学模型；
另一方面考生还要准确理解参考公式里面的符号含义，并能对公式进行必要的变形(过程如下所示)，以便直接利用相关的参考数据，参考数据一般都是对原始数据进行了一些复杂的计算处理，如果不对公式进行变形，而直接代入原始数据计算将会非常复杂(有时题目中只给参考数据，未出现原始数据).
可以看出，这类问题对数学运算素养要求比较高，这也体现了高考命题的一种趋势，也同《义务教育数学课程标准(2022年版)》中“增加代数推理”的要求是相一致的.所以此类试题的设计，有助于发展考生的数学运算、数据分析及数学建模等核心素养.
3.1 立足情境创设，突出问题意识
在课改的多年实践中，情境创设是教学改革的热点，也成为数学课堂教学的基本模式.教师通过创设与教学目标相关联的、处于学生最近发展区的数学教学情境，包括现实情境、数学情境、科学情境，引发学生的认知冲突与思维波动，调动学生学习的积极性与主动性，激发学生问题探究与问题解决的意识.这种基于问题导向的情境设计，为学生搭建了“自主探究、自主提问、自主解决”的平台，让学生经历发现与提出问题、分析并解决问题的完整过程，能够有效地引导他们了解数学知识的产生背景与发展脉络，体验数学与经济、科技和现实生活的紧密联系，让学生认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，从而更深切地感悟数学的应用价值和工具性.
3.2 回归数学本质，强化概念教学
概念教学是数学教学的主要组成部分，是发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的有力工具，是培养学生的理性思维与科学精神的重要途径，是认识数学、理解数学以及教好数学的关键环节.
概念教学一般包括引入、理解与运用三个阶段.在实际课堂教学中，许多教师不太重视前两个阶段，对数学概念的形成过程一带而过，直接给出概念的定义与几点注意事项，习惯把教学重点放在概念的应用上.实际上，数学概念的形成是一个由丰富的感性认识上升到深刻的理性认识的过程，里面蕴含着丰富的数学思想方法，是发展数学核心素养的重要载体.教师不能弱化了这个环节，一定要讲清概念的来龙去脉，不能仅仅用例题应用去强化概念.教师在概念教学中要回归数学本质，积极引导学生对相关的教学情境进行深入分析，自主抽象概括出数学概念，同时让学生尝试用符号、图形等不同形式的数学语言进行表述，准确地理解数学概念的内涵、外延、本质，最后再进行数学概念的巩固应用.只有经历了这样的生成过程，学生才能将零散的知识点联系到一起，真正地理解数学概念，帮助学生运用数学的思维去发现、分析和解决问题.
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