罗 芸，钱 进*，王一桂，朱道兴，于 涛，林志恒，赵 威
(1.贵州大学 电气工程学院，贵州 贵阳 550025；
2.中国电建集团贵州工程有限公司，贵州 贵阳 550003)
工程应用的流动中，涉及丰富而充满活力，非稳定性、非线性的复杂流动问题[1-2]。然而，随着实验和计算机仿真技术的高速发展，要准确量化地提取流动结构依然非常困难，且在进行流动稳定性分析时需要大量计算，其成本昂贵。
圆柱绕流问题是在能源工程设计中常见的典型的问题之一，其中最为出名的是卡门涡街现象，这是在许多工程设计领域中所存在的共性问题[3]。目前，有很多方法能够较为准确地获得圆柱绕流的数据。格子Boltzmann 方法是一种不同于传统数值方法的流体建模和计算方法[4-5]。周凯等[6]利用格子Boltzmann 方法对二维静止串列双圆柱绕流进行了数值模拟，模拟结果和已有研究结果吻合较好。
本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD) 是一种高效的降阶方法，广泛应用于流场的降维中，其主要思路是用较少的POD基近似描述较高阶数据。DEANE等[7]和CAO[8]对圆柱绕流进行了数值模拟，利用POD算法对其进行降维处理，发现使用较少的POD模态能准确地表达流场的主要特征。之后的一些绕流流场降阶研究[9-11]大都延续了文献[7-8]的方法。如李静等[12]以低雷诺数(Re=100)下圆柱绕流为例,利用计算流体力学(computational fluid dynamics，CFD)数值模拟选择合适的样本数据，构建了卡门涡街失稳初期的流动降阶模型，可以用少量的POD模态复现流场发散初期的频率和阻尼等特性。
本文利用格子Boltzmann 方法模拟低雷诺数下(Re=100)圆柱绕流卡门涡形成、发展和稳定脱落的非定常流场过程，并利用POD技术对其进行降维分析处理，得出内部流场的各阶段POD模态，从而重建圆柱绕流的非定常内部流场；
最后,通过定量分析不同的POD基个数重构二维圆柱绕流非定常流场中误差的发展情况。
1.1 圆柱绕流数值模拟
图1是二维圆柱绕流的计算区域示意图。圆柱直径特征长度为D，计算区域模型选为5D×20D。计算区域网格采用结构化网格，网格总节点数为40 000个。Re=100；
进口速度恒定，选为0.1；
出口为充分发展；
上下壁面速度选为0；
圆柱表面为速度无滑移，取为0；
对进出口以及上下壁面采取非平衡外推格式，对圆柱表面采用反弹格式处理。
图1 计算区域示意图Fig.1 Schematic diagram of calculation area
1.2 模型验证
为验证格子Boltzmann算法的可靠性，对圆柱绕流问题进行数值模拟，并与文献[13]结果对比，如图2所示。图2(a)是具体尺寸图；
图2(b)是本文的模拟结果，即速度分布及流线图，图2(c)是文献[13]的模拟结果，即流线和压力图。对比(b) (c)两图，本文圆柱背面流体发生脱离，形成了2个对称的漩涡，与文献[13]的模拟结果非常相近。
图2 模拟结果对比Fig.2 Comparison of simulation results
1.3 圆柱绕流非定常流动过程
Re=100的圆柱绕流非定常流动过程分为圆柱绕流卡门涡街形成、发展和稳定脱落3个阶段。
圆柱绕流卡门涡街形成阶段如图3所示。由图3可以看出：圆柱绕流卡门涡街形成是从边界层开始逐渐分裂，最后在圆柱后面产生对称旋涡并逐步向下游发展产生尾迹，直到出口，整个流程一直呈现对称状态。
图3 卡门涡街形成阶段Fig.3 Karman vortex formation stage
圆柱绕流卡门涡街发展阶段如图4所示。圆柱尾涡变得不稳定，开始上下摆动。圆柱绕流卡门涡街稳定脱落阶段如图5所示。由图5可以看出：漩涡不断增长，摆动加强；
不稳定的对称漩涡破碎时，形成周期性交替脱落的卡门涡街。
图4 卡门涡街发展阶段Fig.4 Karman vortex development stage
图5 卡门涡街周期性脱落阶段Fig.5 Karman vortex periodic shedding stage
SIROVICH[14]首次将POD方法应用于流体力学方向，其主要思想是通过计算流体力学模拟出流场流动情况，构成瞬态流场样本矩阵，然后提取特征值和特征向量，用较少的特征向量获得高阶数据的近似描述，具体推导过程如下：
将N个时刻瞬时流场数据构成快照矩阵合集U(xi,tj)(1 U=[U1,U2,…,Ut] (1) 计算快照矩阵瞬态流场各个节点样本的时间平均值，即 (2) 由此得到流场的脉动量矩阵，即 (3) (4) RA=λA (5) 式中：λ为特征值； 通过式(6)、(7)可以计算各阶POD基Φj(x)和其对应的模态系数aj(t) (7) POD基表示捕获流场的主要特征，前m个POD模态所捕获的能量占全阶模态的能量为 (8) 任意时刻流场可以由流场的时间平均值和一组基模态和线性组合来重构，即 (9) 以圆柱绕流周期性稳定阶段为例，选取用数值模拟计算获得的该阶段500组样本数据组成样本快照矩阵。每组数据流场信息点个数为40 000。利用500组数据样本，由式(1)—(9)运用MATLAB进行编程计算，通过式(6)、(7)得到POD基Φj(x)和特征值，即对应的模态系数aj(t)，随后利用式(9)即可重构流场。 图6为前5阶模态能量的各阶能量占比分布，可以较为准确地重构流场。由图6可以看出：1阶模态几乎占据流场绝大部分能量，为流动结构中最稳定的模态； 图6 前5阶模态能量的各阶能量占比分布Fig.6 Energy proportion distribution of the first five modes 图7为圆柱绕流周期性稳定阶段的前5阶POD模态速度云图。与主导POD模态相关的模态形状揭示了流场中主导的能量空间结构。由图7可以看出：1阶模态和2阶模态具有自上而下的不对称性，表明主导能量结构与卡门涡尾流的不对称性有关； 图7 稳定脱落阶段前5阶模态速度云图Fig.7 The first 5 POD modal velocity cloud images of stable shedding stage 利用前5阶POD模态进行二维圆柱绕流周期性稳定脱落阶段流场重构，如图8所示。由图8可以看出，前5阶模态能很好地重构流场。图9为流场重构误差。流场重构误差绝对值最大为8×10-4。 图8 原始流场与重构流场Fig.8 Original flow field and reconstructed flow field 图9 重构误差Fig.9 Reconstruction error 图10为原始流场与不同POD模态阶数重构结果对比。前5阶模态基本可以准确表达流场全部特征，但随着模态阶数的增加，流场空间构造得越细致。前2阶模态几乎占据流场绝大部分能量，后续模态阶数蕴含能量太小，流场表达细微，图10中很难直观看出流场空间的细微差别，但可以由图11数据直观看出。图11为POD模态阶数与重构误差的关系。由图11可以看出：开始时，流场重构误差随POD模态阶数的增加大幅度降低； 图10 原始流场与不同阶数POD重构结果对比Fig.10 Comparison between original flow field and POD reconstruction results of different orders 本文采用POD算法，对格子Boltzmann模拟的非定常流场进行重建，结果表明POD降阶方法重构流场信息具有很高的效率，只需要较少的能量较高的前几阶规范正交基就可以很好表达流场主要特征： 1)前5阶POD模态占总能量的99%，可以准确重构流场，流场重构误差最大绝对值为8×10-4。 2)随着模态阶数的增加，流场特征表达得越细致，且流场重构误差由大幅度降低，缓慢降低到趋于稳定几乎保持不变。
A为特征向量。3.1 基于POD结果的圆柱绕流流场重构
前2阶，前3阶，前5阶模态能量占比分别为95%，97%，99%。前5阶捕获的能量接近100%，这意味着高维流场可以用5个空间模态来准确表达，流场数据可能得到显著压缩。
3阶、4阶、5阶模态次谐波空间结构，表示了圆柱绕流周期性稳定阶段比较重要的次要特征。
3.2 POD模态阶数对重构结果的影响
当模态阶数增加到5后，重构误差随POD模态阶数的增加而缓慢降低；
当模态阶数增加到9后，流场重构误差几乎保持不变。所以，当模态阶数到达一定数量时，增加阶数并不会降低重构误差。由3.1节可知：前5阶模态包含了99%的能量，选取适当的POD模态进行重构，可以降低计算成本。
